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Algebra [Lecture notes] by Christoph Schweigert

By Christoph Schweigert

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Mk )−1 = (m1 , m2 )(m2 , m3 ) . . (mk−1 , mk ) Unsere Konvention ist dabei so, dass Permutationen von links nach rechts multipliziert werden. 54 2. folgt aus der Tatsache, dass Ar durch Paare von Transpositionen erzeugt wird und f¨ ur a, b, c, d paarweise verschiedene Elemente gilt (ab)(cd) = (bcd)(abc) und (ab)(bc) = (cab) . 3. ur r ≥ 5 und f¨ ur r = 3. Die alternierenden Gruppen Ar sind einfach f¨ Wir notieren zun¨achst die folgenden einfachen Beobachtungen: • Die Gruppen A1 und A2 sind trivial.

Als Quotient einer p-Gruppe ist A eine p-Gruppe. Es gibt daher eine nat¨ urliche Zahl s ∈ N, so dass s cp = e ∈ Zˉ . ˉ Sei l die maximale nat¨ urliche Zahl, so dass Eine pl -te Potenz von cˉ liegt also in Z. pl d=c ∈Z= a . • Wir haben also ein dˉ gefunden mit der Eigenschaft d ∈ Z, p aber d ∈ Z , mit dem wir weiter arbeiten werden. • Die Ordnung von a in Z ist gleich der Ordnung von a in A, da B nach Voraussetzung die Untergruppe a nur im neutralen Element trifft. Andererseits ist allgemein f u ¨r jedes x ∈ A die Ordnung der Projektion π(x) ein Teiler der Ordnung von x, ord(π(x)) | ord(x) .

Die Untermenge U τ H ⊂ G heißt Doppelnebenklasse von τ nach den Untergruppen U, H. 3. Es gilt (a) G ist die disjunkte Vereinigung der verschiedenen Doppelnebenklassen nach U, H. (b) Sei V ein Vertretersystem der Doppelnebenklassen und G endliche Gruppe. Dann gilt |U | |H| |U | |H| |G| = = (4) −1 v| |vHv |H ∩ U ∩ U | v∈V v∈V Beweis. Sei m die L¨ange der Bahn der Nebenklasse τ H unter der Operation von U auf G/H. Nach der Bahnengleichung gilt mit dem unter 1. berechneten Stabilisator τ Hτ −1 ∩ U m= |U | .

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